\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{progm}
\analpacks
\analoldal{3. zárthelyi dolgozat}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent

``Simplicity is prerequisite for reliability.''\\
--- Edsger Dijkstra

\begin{center}Bevezetés a programozáshoz 1., 3. zárthelyi dolgozat\\2005. december\end{center}

Az alábbi feladatok megoldása során állításaidat indokold!  Az
indoklások triviális tényekre, a tanult definíciókra és a kimondott
tétetelekre hivatkozhatnak.  Az előadáson vagy gyakorlaton szerepelt
bármely állítás felhasználható, azonban az el nem hangzottakat
szintén indokolni kell!

\emph{1. Feladat}\\Írjuk fel az $A\times B, A\times C, (C\times B)\times A$ és $B\times C\times A$ halmazok elemeit, ha $A=\{\alpha, \varphi\}, B=\{1,2,3\}, C=\{x,y\}$. (5 pont)

\emph{2. Feladat}\\$R\subseteq A\times A$.  Igaz-e, hogy $(R^{(-1)})^2 = (R^2)^{(-1)}$? (7 pont)

\emph{3. Feladat}\\$R\subseteq \N_0\times\N_0$.
\begin{displaymath}
R(a)=\left\{
\begin{array}{ll}
\{a-3\}, & \text{ha } a>2 \\
\{3*k|k\in\N\}, & \text{ha } a=1 \\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
Mi az $R$ reláció lezártja és korlátos lezártja? (10 pont)

\emph{4. Feladat}\\$A=\alatt{\N}{x} \times \alatt{\N}{k} \times \alatt{\L}{l}$\\
$S=((DO(x>k, x:=x-k);IF(x=k:l:=\text{igaz}, x\ne k:l:=\text{hamis}))$

\begin{itemize}
\item Rajzold fel a program stuktogramját! (5 pont)
\item Milyen pontokat rendel a program a $(5,3,\text{igaz})$ és $(6,2,\text{hamis})$ pontokhoz? (10 pont)
\end{itemize}

\emph{5. Feladat}\\Igaz-e, ha $S\subseteq B\times B^{**}$, $A$ altere $B$-nek, akkor
\begin{itemize}
\item $\D_{pr_A(p(S))} = pr_A(D_{p(S)})?$ (8 pont)
\item $S$ $A$-ra történő projekciójának kiterjesztése $B$-re azonos $S$-sel? (8 pont)
\end{itemize}

\emph{6. Feladat}\\$A=\N\times\N\times\N. S\subseteq A\times A^{**}.$
$S$ az $(1,1,2)$ pontból kiindulva előállítja a 10. Fibonacci számot
az $u(n)=u(n-1)+u(n-2)$ rekurzív összefüggés alapján.  A koordináták
rendre $u(n-2)$-nek, $u(n-1)$-nek és $u(n)$-nek felelnek meg.  Írd fel
azt a sorozatot, amelyet $S$ az $(1,1,2)$ ponthoz rendel!  Mit rendel
$p(S)$ az $(1,1,2)$ ponthoz? (7 pont)

\vspace{3cm}
\hspace{15cm}Jó munkát!
\end{document}